Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности
Рисунок 11.6. Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности
Множители для каждого из значений сеточной функции в узлах шаблона, соответствующие разностному уравнению (11.9), приведены рядом с каждой точкой шаблона на Рисунок 11.6. Фактически геометрия шаблона и эти множители задают построенную нами разностную схему.
Несложно убедиться в том, что для получения замкнутой системы разностных алгебраических уравнений систему (11.9) необходимо дополнить дискретным представлением начального и граничных условий (11.6) и (11.7). Тогда число неизвестных будет в точности равно числу уравнений, и процесс формирования разностной схемы будет окончательно завершен.
Примечание 1
Примечание 1
Важно подчеркнуть, что возможная нелинейность полученной системы алгебраических уравнений определяется зависимостями от температуры функций D(u) и ф (u), т. е. как коэффициент диффузии, так и источник тепла могут быть функциями сеточной функции ui,k.
Если присмотреться к разностным уравнениям (11.9) повнимательнее, то можно сразу предложить несложный алгоритм реализации этой разностной схемы. Действительно, каждое неизвестное значение сеточной функции со следующего временного слоя, т. е. левая часть соотношения (11.9) явно выражается через три ее значения с предыдущего слоя (правая часть), которые уже известны. Таким образом, в случае уравнения теплопроводности нам очень повезло. Для расчета первого слоя по времени следует попросту подставить в (11.9) начальное условие (известные значения и с нулевого слоя в узлах сетки), для расчета второго слоя достаточно использовать вычисленный таким образом набор и с первого слоя и т. д. Из-за того что разностная схема сводится к такой явной подстановке, ее и называют явной, а благодаря пересчету значений с текущего слоя через ранее вычисленные слои — схемой бегущего счета.
Линейное уравнение
Сделанные замечания относительно реализации явной схемы для уравнения диффузии тепла сразу определяют алгоритм ее программирования в Mathcad. Для решения задачи нужно аккуратно ввести в листинг соответствующие формулы при помощи элементов программирования.
Решение системы разностных уравнений (11.9) для модели без источников тепла, т.е. ф(x,T,t)=0 и постоянного коэффициента диффузии D=const приведено в листинге 11.1. В его первых трех строках заданы шаги по временной и пространственной переменным t и А, а также коэффициент диффузии о, равный единице. В следующих двух строках заданы начальные (нагретый центр области) и граничные (постоянная температура на краях) условия соответственно. Затем приводится возможное программное решение разностной схемы, причем функция пользователя v(t) задает вектор распределения искомой температуры в каждый момент времени (иными словами, на каждом слое), задаваемый целым числом t.
