Сетка покрывающая расчетный интервал
Рисунок 10.7. Сетка, покрывающая расчетный интервал
Примечание 1
Примечание 1
Существует множество способов аппроксимации дифференциальных уравнений разностными. От выбора конкретного варианта зависит не только простота, быстрота и удобство вычислений, но и сама возможность получения правильного ответа.
Получилась система (по числу шагов) 2(N-1) разностных линейных алгебраических уравнений с 2N неизвестными Yi и уi. Для того чтобы она имела единственное решение, надо дополнить число уравнений до 2N.
Это можно сделать, записав в разностном виде оба граничных условия: \
Y0=10, YN=RYN. (10.5)
Сформированная полная система алгебраических уравнений называется разностной схемой, аппроксимирующей исходную краевую задачу. Обратите внимание, что правые части разностных уравнений системы (10.4) на каждом шаге записаны для левой границы шага. Такие разностные схемы называют явными, т. к. все значения Yi+1 и yi+1 находятся в левой части уравнений. Полученную явную разностную схему легко записать в матричной форме
Аz=В, (10.6)
где z — неизвестный вектор, получающийся объединением векторов Y и у. Решив систему (10.6), мы получим решение краевой задачи.
Примечание 2
Примечание 2
На самом деле все несколько сложнее, поскольку, вообще говоря, необходимо еще доказать, что, во-первых, разностная схема действительно аппроксимирует дифференциальные уравнения и, во-вторых, при N->? разностное решение действительно сходится к дифференциальному.
Процесс решения системы разностных уравнений называют также реализацией разностной схемы. Программа, которая решает рассматриваемую краевую задачу разностным методом, приведена в листинге 10.6.
